Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:
Свойства 4
Степень произведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Степень с целым показателем (8 класс)
N-ой степенью числа \(a\) – называют выражение вида \(a^n\), значение которого равно произведению \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\).
Анатомия степени:
Свойства степеней:
Знание свойств степени позволяет упрощать выражения или вычислять их значения быстрее и легче. Продемонстрируем на примерах.
Чувствуете разницу? В первом случае задача решается практически в уме, во втором – нам требуется инженерный калькулятор.
В знаменателе у нас дробь в отрицательной степени. Используем свойство \((\frac)^<-n>\) \(=\) \((\frac)^
Здесь мы не можем применить никакие свойства, потому что нам нужно, чтоб были одинаковы либо показатели, либо основания. Подумаем, как можно преобразовать выражение, чтоб это получить. Заметим, что \(14 = 7·2\). Значит, можно заменить.
Теперь используем свойство \(a^n\cdot b^n=(a \cdot b)^n\), но только в обратную сторону, вот так: \((a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n\)
Теперь воспользуемся свойством \(\frac
Любое число в первой степени равно самому себе: \(a^1=a\).
Отрицательный показатель «переворачивает» основание степени: \(a^<-n>=\) \(\frac<1>
С учетом этого получаем:.
Решение: Прежде чем падать в обморок от ужаса, обратите внимание, что вся эта страшная дробь стоит в степени \(0\). А любое число в \(0\) степени равно \(1\). Поэтому ответ: \(1\).
Пример. Найдите значение выражения \(2^ <1-3x>\cdot 8^x\)
У нас опять разные основания и разные показатели. Но мы можем сделать основания одинаковыми, так как \(8=2·2·2=2^3\).
При возведении степени в степень – показатели перемножаются \((a^n)^m=a^
Теперь основания одинаковы, можем использовать свойство \(a^n\cdot a^m=a^
Таблица степеней
Основные понятия
Степень числа — это результат многократного умножения числа на себя. Само число называют основанием степени, а количество операций умножения — показателем степени.
Показатель степени всегда натуральное число — это значит, что его можно использовать при счете или перечислении предметов:
Запись читается, как «a» в степени «n».
Вот пример для наглядности:
Эту запись можно прочитать тремя способами:
Свойства степеней
Свойства степеней обычно используют, чтобы сократить или упростить сложные примеры. Удобно использовать вместе с таблицей степеней и таблицей умножения.
Таблица степеней от 1 до 10
Таблица степеней — это перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от 1 до 10. Ниже приведены два вида таблиц, выберите ту, которая удобнее для вас — скачайте на телефон или распечатайте и положите в учебник.
Как найти необходимые значения в этой таблице:
В этой табличке мы просто ищем нужное нам число в степени и получаем ответ.
А если ответ нужно получить как можно быстрее, можно использовать онлайн калькулятор. Вот несколько подходящих:
Алгебра — предмет серьезный: при переходе в новый класс багаж формул и правил будет только увеличиваться. Поэтому важно запоминать все последовательно и практиковаться на примерах.
Решение задач
5 2 * 5 3 = 5 2+3 = 5 5 = 3125
2 4 * 3 3 * 2 5 = 2 4+5 * 3 3 = 2 9 * 3 3 = 512 * 27 = 13824
При условии, что у нас есть только таблица до 10, разложим основание степени на множители:
Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры
Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.
Свойства степени с натуральным показателем
1. Главное свойство степени: a m · a n = a m + n
2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a m : a n = a m − n
3. Свойство степени произведения: ( a · b ) n = a n · b n
Равенство можно расширить до: ( a 1 · a 2 · … · a k ) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. Свойство частного в натуральной степени: ( a : b ) n = a n : b n
Можно обобщить до: ( ( ( a n 1 ) n 2 ) … ) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. Сравниваем степень с нулем:
7. Равенство a n b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Неравенство a m > a n будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.
Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.
Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:
Разберем конкретный пример, подтверждающий это.
Выполним необходимые математические действия: 2 2 · 2 3 = ( 2 · 2 ) · ( 2 · 2 · 2 ) = 4 · 8 = 32 и 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:
a m − n · a n = a ( m − n ) + n = a m
Из него можно вывести: a m − n · a n = a m
Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π : π 5 : π 2 = π 5 − 3 = π 3
Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:
Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:
( a 1 · a 2 · … · a k ) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
Начнем сразу с примера: ( 5 2 ) 3 = 5 2 · 3 = 5 6
А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства: 
a p q y s = a p · q · y · s
6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.
Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени a n с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.
Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.
Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a · a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда 
и степень a 2 · m также положительны.
Тогда 
7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).
8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.
Докажем эти утверждения.
Пример с конкретными числами: 3 7 > 3 2
Основные свойства степеней с целыми показателями
Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).
Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0 ) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:
1. a m · a n = a m + n
2. a m : a n = a m − n
3. ( a · b ) n = a n · b n
4. ( a : b ) n = a n : b n
Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Условия: p = 0 или натуральное число; q – аналогично.
( a 0 ) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1
Следовательно, ( a 0 ) q = a 0 · q
Для q = 0 все точно так же:
( a p ) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1
Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:
1 a p q = 1 q a p q
Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.
Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:
Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.
Основные свойства степеней с рациональными показателями
В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:
Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:
Свойства корня позволят нам вывести равенства:
a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2
Из этого получаем: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Показатель степени можно записать в виде:
m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:
Доказательства остальных равенств:
a · b m n = ( a · b ) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; ( a : b ) m n = ( a : b ) m n = a m : b m n = = a m n : b m n = a m n : b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2
Используем свойство корней и выведем: a m n b m n
Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m 1 n и m 2 n
Их можно переписать в следующем виде:
a m 1 n a m 2 n a m 1 n > a m 2 n
Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:
a m 1 n a m 2 n a m 1 n > a m 2 n
Основные свойства степеней с иррациональными показателями
1. a p · a q = a p + q
2. a p : a q = a p − q
3. ( a · b ) p = a p · b p
4. ( a : b ) p = a p : b p
Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a > 0 обладают теми же свойствами.
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»
a — основание степени
n — показатель степени
Соответственно, a n = a·a·a·a. ·a
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 — она решается довольно просто:
2 — основание степени
3 — показатель степени
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).